Александр Дмитриевич Медных - всемирно известный специалист в области теории дискретных групп, гиперболической геометрии, комплексного и комбинаторного анализа, геометрической теории графов, является автором более 150 научных работ и двух монографий.

Основные научные результаты А.Д. Медных:

26 октября (четверг), 17:00
Тема: Основные понятия геометрии узлов и зацеплений
1 ноября (среда), 17:00
Тема: Евклидовы и неевклидовы многогранники и их объемы
8 ноября (среда), 17:00
Тема: Оператор Лапласа на графе и связанные с ним инварианты
22 ноября (среда), 17:00
Тема: Распознавание графов и римановых поверхностей по спектру оператора Лапласа
29 ноября (среда), 17:00
Тема: Голоморфные отображения и карты на римановых поверхностях
Место проведения: Online формат

I. Основные понятия геометрии узлов и зацеплений
Геометрия узлов и звеньев возникла в 70-х годах прошлого века в работах английского математика Роберта Райли и американского математика Уильяма Терстона. Основная идея заключалась в том, чтобы ввести геометрическую структуру на дополнения к узлу или зацеплению. Удивительно, но наиболее подходящей для этой цели оказалась геометрия Лобачевского. Та же самая геометрия охватывает «почти все» 3-многообразия. За этот результат У. Терстон в 1983 г. получил Филдсовскую премию. Однако существует еще семь геометрий, описывающих трехмерные многообразия и, в частности, расположенные в них узлы. Цель первой части курса - рассказать, как в теории узлов возникают евклидова, сферическая и гиперболическая геометрии. Будут даны точные аналитические формулы для вычисления объемов конусных многообразий, особым множеством которых является данный узел или зацепление.

II. Евклидовы и неевклидовы многогранники и их объемы
Будет дан исторический обзор результатов вычисления площадей и объемов в пространствах постоянной кривизны. Будут рассмотрены неевклидовы аналоги классических формул Герона и Брахмагупты для треугольников и четырехугольников. Подробно будут рассмотрены проблемы, связанные с вычислением объемов неевклидовых тетраэдров. Будут приведены формулы объемов тетраэдров, полученные Лобачевским, Бойяи, Коксетером и Милнором. Основной упор будет сделан на результаты, полученные современными авторами - Ким и Чо, Мураками и Яно, Усидзима, Деревниным и Медных. Будет показано, что наличие нетривиальных симметрий на многограннике значительно упрощает вывод формул для объема.

III. Оператор Лапласа на графе и связанные с ним инварианты
Спектр оператора Лапласа связного графа на n вершинах задается последовательностью 0 = λ_1 < λ_2 ≤ ... ≤ λ_n. С таким графом связаны три важные геометрические характеристики: количество остовных деревьев t(n), количество корневых остовных лесов f(n) и индекс Кирхгофа Kf(n). Они выражаются формулами t(n) = (1/n) λ_2 λ_3 ...λ_n, f(n) = (1+λ_1)(1+λ_2) ... (1+λ_n) и Kf(n) = n(1/λ_2+1/λ_3+ ...+1/λ_n) соответственно. В приложениях теории графов к кристаллографии и статистической физике наиболее интересные случаи возникают, когда n стремится к бесконечности. Будут рассмотрены графы, допускающие действие большой циклической группы автоморфизмов с малым числом орбит. Класс таких графов достаточно широк. Он включает циркулянтные графы, графы Хаара, обобщенные графы Петерсена, I-, Y-, H-графы, дискретные торы и циркулянтные расслоения. Будет показано, что в этих случаях величины t(n), f(n) и Kf(n) выражаются через многочлены Чебышева первого и второго рода T_n(n) = cos(n arccos z) и U_{n-1}(n) = sin(n arccos z)/sin(arccos z). Это позволяет найти их асимптотику и исследовать их арифметические свойства.

IV. Распознавание графов и римановых поверхностей по спектру оператора Лапласа
Классическая работа Марка Каца (1966) «Можно ли услышать форму барабана?» положила начало изучению геометрических свойств многообразий, определяемых их спектром. В частности, Вольперт (1979) показал, что общая риманова поверхность определяется своим спектром оператора Лапласа.
Несмотря на это, пары изоспектральных римановых поверхностей известны для любого рода ≥ 4. См. Buser (1986), Brooks and Tse (1987) и др. Существуют также примеры изоспектральных, но неизометричных двух- и трехподповерхностей с переменной кривизной, предложенные Барденом и Хюнсуком Кангом (2012).
В то же время изоспектральные поверхности первого рода (плоские торы) изометричны (Brooks, 1988). Аналогичный результат для бутылки Клейна был получен Р. Исангуловым (2000). Обзор соответствующих результатов для графов можно найти в E.R. van Dam and W.H. Хемерс (2003).
Питер Базер (1992) поставил следующую интересную проблему: будут ли две изоспектральные римановы поверхности рода два изометричными? Эта проблема для римановых поверхностей остается открытой.
Будет дано положительное решение этой проблемы для некоторых семейств графов.

V. Голоморфные отображения и карты на римановых поверхностях
Теория карт как предмет математических исследований появились в известной программе А. Гротендика (1984), где были намечены подходы к их изучению, охватывающие теорию Галуа, теорию фуксовых групп, группы подстановок, теорию Тейхмюллера, алгебраическую геометрию и многие другие разделы современной математики. «Детский рисунок» обычно рисуется на замкнутой римановой поверхности таким образом, что его дополнением является конечное множество топологических дисков, т. е. областей, гомеоморфных окружности. Это позволяет использовать теорию униформизации римановых поверхностей как один из способов описания интересующего нас объекта. Разные узоры на поверхности соответствуют разным подгруппам объединяющей фуксовой группы. Более того, рисунки гомеоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие подгруппы сопряжены. Это позволяет свести задачу о перечислении «детских рисунков» с точностью до гомеоморфизма к задаче о перечислении классов сопряженных подгрупп данного индекса в данной фуксовой группе. Обе проблемы были решены автором и его коллегами.